Grafika komputer BAB III

Bab III

Output Primitif

 

Tujuan:

1)                  Mahasiswa memahami output primitive grafika komputer.

2)                  Mahasiswa mampu memahami algoritma pembentukan garis dan lingkaran.

 

Gambar dapat dijelaskan dengan beberapa cara, bila menggunakan raster display, gambar ditentukan oleh satu set intensitas untuk posisi display pada display. Sedangkan dengan scene tampilan gambar dengan loading array dari pixel ke dalam buffer atau dengan mengkonversikan scan dari grafik geometri tertentu ke dalam pola pixel. Paket grafika dilengkapi dengan fungsi untuk menyatakan scene dalam bentuk struktur. Paket pemrograman grafika dilengkapi dengan fungsi untuk menyatakan scene dalam bentuk struktur dasar geometri yang disebut  output primitif,    dengan memasukkan output primitif tersebut sebagai struktur yang lebih kompleks.

3.1              Titik dan Garis

Pembentukan titik dilakukan dengan mengkonversi suatu posisi titik koordinat dengan program aplikasi ke dalam suatu operasi tertentu menggunakan output. Random-scan (vektor ) system menyimpan instruksi pembentukan titik pada display list dan nilai koordinat menentukan posisi pancaran electron ke arah lapisan fosfor pada layer. Garis dibuat dengan menentukan posisi titik diantara titik awal dan akhir dari suatu garis.

3.2              Algoritma Pembentukan Garis

Persamaan garis menurut koordinat Cartesian adalah:

y = m.x + b

dimana m adalah slope (kemiringan) dari garis yang dibentuk oleh dua titik yaitu (x₁,y₁) dan (x₂, y₂). Untuk penambahan x sepanjang garis yaitu dx akan mendapatkan penambahan y sebesar Δy = m. Δx

3.2.1        Algoritma DDA (Digital Differential Analyzer)

DDA adalah algoritma pembentukan garis berdasarkan perhitungan  Δx  dan Δy, menggunakan rumus  y = m. Δ x. Garis dibuat dengan menentukan dua endpoint yaitu titik awal dan titik akhir.  Setiap koordinat titik yang membentuk garis diperoleh dari perhitungan, kemudian dikonversikan menjadi nilai integer. Langkah-langkah pembentukan menurut algoritma DDA, yaitu : 

1)                  Tentukan dua titik yang akan dihubungkan.

2)                  Tentukan salah satu titik sebagai titik awal (x₀, y₀) dan titik akhir (x₁, y₁).

3)                  Hitung  Δx = x₁ – x₀ dan  Δ y = y₁ – y₀.

4)                  Tentukan step, yaitu jarak maksimum jumlah penambahan nilai x maupun nilai y dengan cara :

bila nilai |Δy| > |Δx| maka step = nilai |Δy|.

bila tidak maka step = |Δx|.

5)                  Hitung penambahan koordinat pixel yaitu x_increment =  Δx / step dan y_increment =  Δy / step.

6)                  Koordinat selanjutnya (x+x_incerement, y+y_increment).

7)                  Posisi pixel pada layer ditentukan dengan pembulatan nilai koordinasi tersebut.

8)                  Ulangi step 6 dan 7 untuk menentukan posisi pixel selanjutnya, sampai    x = x₁ dan y = y₁

Contoh :

Untuk menggambarkan algoritma DDA dalam pembentukan suatu garis yang menghubungkan titik (10,10) dan (17,16), pertama-tama ditentukan dx dan dy, kemudian dicari step untuk mendapatkan x_increment dan y_increment.

Δx = x₁ – x ₀ = 17-10 = 7

Δy = y₁ – y₀  = 16 -10 = 6

selanjutnya hitung dan bandingkan nilai absolutnya.

|Δx| = 7

|Δy| = 6

karena |Δx| > |Δy|, maka step = |Δx| = 7, maka diperoleh :

x_inc = 7/7= 1

y_inc = 6/7 = 0,86 .

3.2.2  Algoritma Bressenham

Prosedur untuk menggambar kembali garis dengan membulatkan nilai x atau y kebilangan integer membutuhkan waktu, serta variable x,y dan m merupakan bilangan real karena kemiringan merupakan nilai pecahan.  Bressenham mengembangkan algoritma klasik yang lebih menarik, karena hanya menggunakan perhitungan matematika dengan bilangan integer. Dengan demikian tidak perlu membulatkan nilai posisi setiap pixel setiap waktu. Algoritma garis Bressenhem disebut juga midpoint line algorithm adalah algoritma konversi penambahan nilai integer yang juga dapat diadaptasi untuk menggambar sebuah lingkaran.

Langkah-langkah untuk membentuk garis menurut algoritma ini adalah :

1)                  Tentukan dua titik yang akan dihubungkan dalam pembentukan garis.

2)                  Tetukan salah satu titik disebelah kiri sebagai titik awal (x₀, y₀) dan titik lainnya sebagai titik akhir (x₁, y₁ ).

3)                  Hitung  Δx,  Δy, Δ2x, dan 2Δy – 2Δx.

4)                  Hitung parameter p₀ = 2Δy – Δx.

5)                  Untuk setiap x_k sepanjang jalur garis, dimulai dengan k = 0

·                     bila p_k <0 maka titik selanjutnya (x_k+1, y_k) dan p_k+1 = p_k +2Δy

·                     bila tidak maka titik selanjutnya adalah (x_k+1, y_k+1)                  

dan p_k+1=p_k+2Δ-y2Δx.

6)                  Ulangi langkah nomor 5 untuk menentukan posisi pixel selanjutnya, sampai x=x_n.

Contoh :

Untuk menggambarkan algoritma Bressenham dalam  pembentukan suatu garis yang menghubungkan titik (10,10) dan (17,16), pertama-tama ditentukan bahwa titik (10,10) berada disebelah kiri merupakan titik awal, sedangkan (17,16) merupakan titik akhir. Posisi yang membentuk garis dapat ditentukan dengan perhitungan sebagai berikut :

·                     x = x₁– x₀ dan  y= y₁ – y₀

x = 7 dan  y = 6

·                     parameter p₀ = 2Δy –  x

p₀ = 5

·                     increment 2Δy = 12      2Δy – 2Δx = -2

3.3              Algoritma Pembentukan Lingkaran

Pada  umumnya, lingkaran digunakan sebagai komponen dari suatu gambar. Prosedur untuk menampilkan lingkaran dan elips dibuat dengan persamaan dasar dari lingkaran x²+y²=r².

Lingkaran adalah kumpulan dari titik-titik yang memiliki jarak dari titik pusat yang sama untuk semua titik. Lingkaran dibuat dengan menggambarkan seperempat lingkaran, karena bagian lain dapat dibuat sebagai bagian yang simetris. Penambahan x dapat dilakukan dari 0 ke r sebesar unit step, yaitu menambahkan ± y untuk setiap step.

Simetris delapan titik

Proses pembuatan lingkaran dapat dilakukan dengan menentukan satu titik awal. Bila titik awal pada lingkaran (x,y), maka terdapat tiga posisi lain, sehingga dapat diperoleh delapan titik. Dengan demikian, hanya diperlukan untuk menghitung segmen 45^o dalam menentukan lingkaran selengkapnya. Delapan titik simetris, yaitu :

·                     Kuadran I (x,y),(y,x)

·                     Kuadran II (-x,y),(-y,x)

·                     Kuadran III (-x,-y),(-y-x)

·                     Kuadran IV (x,-y),(y,-x)

Algoritma lingkaran midpoint disebut juga algoritma lingkaran Bressenham. Algoritma yang digunakan membentuk semua titik berdasarkan titik pusat dengan penambahan semau jalur disekeliling lingkaran. Dalam hal ini hanya diperhatikan bagian 45^o dari suatu lingkaran, yaitu oktan kedua dari x = 0 ke x = R/, dan menggunakan prosedur circle point untuk menampilkan titik dari seluruh lingkaran.

f_circle(x,y) 

fungsi lingkaran menggambarkan posisi midpoint antara pixel yang terdekat dengan

jalur lingkaran setiap step. Fungsi lingkaran menentukan parameter pada algoritma

lingkaran.

Langkah-langkah pembentukan lingkaran :

1)                  Tentukan radius r dengan titik pusat lingkaran (x_c,y_c) kemudian diperoleh  (x_c,y_c)= 0,r).

2)                  Hitung nilai dari parameter P0 = 1-r

3)                  Tentukan nilai awal k = 0, untuk setiap posisi x_k berlaku sbb :

·                     Bila p_k <0, maka titik selanjutnya adalah (x_k+1,y_k)

P_k+1 = p_k +2x_k+1+1

·                     Bila pk >0, maka titik selanjutnya adalah (x_k+1,y_k-1)

P_k+1 = p_k +2 x_k+1+1 - 2 y_k+1

Dimana 2 x_k+1 = 2 x_k + 2 dan 2 y_k+1 = 2 y_k – 2

4)                  Tentukan titik simetris pada ketujuh oktan yang lain.

5)                  Gerakkan setiap posisi pixel (x,y) pada garis melingkar dari lingkaran dengan titik pusat (x_c,y_c) dan tentukan nilai koordinat : x= x + x_c  dan y = y + y_c

6)                  Ulangi langkah ke 3 -5, sampai dengan x>=y

Contoh :

Untuk menggambarkan algoritma Bressenham dalam pembentukan suatu lingkaran dengan titik pusat (0,0) dan radius 10, perhitungan berdasarkan pada oktan dari kuadran pertama dimana x =0 sampai x =y.

Penyelesaian :

  (x₀,y₀) =(0,0) r = 10 

  (x₀,y₀) = (0,10)     2_x0 = 0, 2_y0 = 20

  parameter p₀ = 1-r  = -9